电力系统环面分岔与混沌现象

 摘  要：导致电力系统混沌出现之一种途径——环面分岔(TB, Torus Bifurcation)现象，属于一种较为复杂之动态分岔现象，是由于一对复共轭弗罗奎特因子(FM, Floquet Multipliers)从其庞加莱截面(Poincaré section)上之单位圆同时穿出造成之。阳光电子学校维修专家分析认为：由环面分岔导致之混沌现象具有许多奇特之现象，如系统运动沿封闭环面分布、存在进一步之分岔与自组织现象以及有序与混沌共存等。阳光电子学校维修专家分析认为：该文利用非线性动力系统分岔理论和方法，针对一个简单之电力系统模型，对电力系统CTC现象之产生机理、表现形式和存在特点进行了详细之分析，所得结论有助于对电力系统混沌和各种失稳现象本质之理解。阳光电子学校维修专家分析认为：
    关键词：电力系统；稳定性；混沌；分岔

1  引言
    随着电力系统稳定问题之深入研究，国内外学者相继发现电力系统中存在十分复杂之混沌现象。阳光电子学校维修专家分析认为：混沌是非线性系统中各参数相互作用导致之一种非常复杂之现象^[1]，它在电力系统中出现时，将伴随系统运行参数持续无规则之振荡，严重危害系统之运行安全。阳光电子学校维修专家分析认为：
    Abed^[2,3]和Srivastava^[4]根据由连续倍周期分岔(PDB, Period Doubling Bifurcation)导致混沌之途径^[5~10]及这一现象出现之规律，致力于研究消除电力系统混沌现象之办法。阳光电子学校维修专家分析认为：其后，在研究小扰动稳定域与混沌现象之关系中，又发现了由于初始能量直接激发导致混沌出现之途径^[11]，但在实用之电力系统小扰动稳定域之研究中，可以不考虑混沌现象之存在^[12]。阳光电子学校维修专家分析认为：
    环面分岔(TB, Torus Bifurcation)也是导致非线性系统出现混沌现象之一种重要途径^[1,13,14]，且具有环面特性之混沌系统具有许多奇特之现象，但在电力系统混沌现象之研究中却从未被论及，为此，本文借助一个简单之3节点系统^[15]，对电力系统TB和经由TB出现之混沌现象之特点进行了分析。阳光电子学校维修专家分析认为：
    用非线性微分方程表示之动态系统为

式中   x为状态变量，l为分岔变量。阳光电子学校维修专家分析认为：
    平衡点方程为
   f(x,λ)=0                       (2)
    静态分岔研究之是式(2)解之数目随分岔变量l连续变化发生改变而出现之分岔现象；动态分岔研究之是与式(1)之闭轨、同宿和异宿轨道以及不变环面之产生、消失和变化相关之分岔现象。阳光电子学校维修专家分析认为：
    假设式(1)具有周期解，周期为T，当初始点为x₀时，对应之解为x_t=f(x₀, t)，则有

定义1 (Poincaré截面)： 假设å是n维子空间U(ÌRⁿ)中n-1维超平面，且满足 ① f(x)与å满足横截性条件，即f(x)×n(x)¹0，xÎå，其中，n(x)为å在点x处之法线向量； ② å与受向量场f(x)控制之流f相交于唯一点。阳光电子学校维修专家分析认为：则称超平面å构成向量场f(x)或流f之一个Poincaré截面。阳光电子学校维修专家分析认为：

    定义2 (Poincaré映射)： 假设G为流f 之任意一条周期轨道，并与Poincaré截面å交于点p，由式(3)可得f(p, T)= p，即从p点出发之流，在一个周期之时间后，将回到p点。阳光电子学校维修专家分析认为：假设qÎU为p附近之一个点，当2点足够接近时，由q点出发之轨迹将再次与Poincaré截面å相交，定义对应轨迹第一次返回点之映射为：P:U®å，则对于任意这样之点qÎU，在映射P之作用下有

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